题目内容
(本小题满分12分)
已知曲线C上任意一点M到点F(0,1)的距离比它到直线 的距离小1.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点P(2,2)的直线与曲线C交于A、B两点,设当△AOB的面积为时(O为坐标原点),求的值.
(3)若函数在[1,3]上是减函数,求实数a的取值范围.
已知曲线C上任意一点M到点F(0,1)的距离比它到直线 的距离小1.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点P(2,2)的直线与曲线C交于A、B两点,设当△AOB的面积为时(O为坐标原点),求的值.
(3)若函数在[1,3]上是减函数,求实数a的取值范围.
(1)的距离小于1,
∴点M在直线l的上方,点M到F(1,0)的距离与它到直线的距离相等
,所以曲线C的方程为
(2)当直线m的斜率不存在时,它与曲线C只有一个交点,不合题意,
设直线m的方程为,
代入 (*)
与曲线C恒有两个不同的交点
设交点A,B的坐标分别为,
则
点O到直线m的距离,
,
(舍去)
当方程(*)的解为
若
若
当方程(☆)的解为
若
若
所以,
∴点M在直线l的上方,点M到F(1,0)的距离与它到直线的距离相等
,所以曲线C的方程为
(2)当直线m的斜率不存在时,它与曲线C只有一个交点,不合题意,
设直线m的方程为,
代入 (*)
与曲线C恒有两个不同的交点
设交点A,B的坐标分别为,
则
点O到直线m的距离,
,
(舍去)
当方程(*)的解为
若
若
当方程(☆)的解为
若
若
所以,
略
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