题目内容

【题目】函数f(x)=loga(ax+1)+mx是偶函数.
(1)求m;
(2)当a>1时,若函数f(x)的图像与直线l:y=﹣mx+n无公共点,求n的取值范围.

【答案】
(1)解:∵函数f(x)=loga(ax+1)+mx是偶函数.

∴f(﹣x)=f(x),

即loga(ax+1)﹣mx=loga(ax+1)+mx,

即loga )=﹣x=2mx,

解得:m=﹣


(2)解:令loga(ax+1)+mx=﹣mx+n,

即n=loga(ax+1)+2mx=loga(ax+1)﹣x,

n′= ﹣1= <0恒成立,

即n=loga(ax+1)﹣x为减函数,

→+∞,

→0,

故n∈(0,+∞)

若函数f(x)的图像与直线l:y=﹣mx+n无公共点,则n∈(﹣∞,0]


【解析】(1)若函数f(x)=loga(ax+1)+mx是偶函数.则f(﹣x)=f(x),进而可得m的值;(2)令loga(ax+1)+mx=﹣mx+n,即n=loga(ax+1)+2mx=loga(ax+1)﹣x,求出函数的值域,可得答案.

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