Question

【题目】在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知 =2，cosB= ，b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ =2，cosB= ， ∴cacosB=2，即ac=6①，
∵b=3，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，
∴a2+c2=13②，
联立①②得：a=3，c=2；
（Ⅱ）在△ABC中，sinB= = = ，
由正弦定理 = 得：sinC= sinB= × = ，
∵a=b＞c，∴C为锐角，
∴cosC= = = ，
则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC= × + × =
【解析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简 =2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac的值；（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．