题目内容
【题目】在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知 
=2，cosB= 
，b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．
【答案】解：（Ⅰ）∵ 
=2，cosB= 
， ∴cacosB=2，即ac=6①，
∵b=3，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，
∴a2+c2=13②，
联立①②得：a=3，c=2；
（Ⅱ）在△ABC中，sinB= 
= 
= 
，
由正弦定理 
= 
得：sinC= 
sinB= 
× = 
，
∵a=b＞c，∴C为锐角，
∴cosC= 
= 
= 
，
则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC= × + × = 
【解析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简 
=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac的值；（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．
【题目】中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中
寸表示115寸
分（1寸=10分）.
节气 | 冬至 | 小寒（大雪） | 大寒（小雪） | 立春（立冬） | 雨水（霜降） | 惊蛰（寒露） | 春分（秋分） |
晷影长（寸） | 135 |
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| 75.5 |
节气 | 清明（白露） | 谷雨（处暑） | 立夏（立秋） | 小满（大暑） | 芒种（小暑） | 夏至 | |
晷影长（寸） |
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| 16.0 |
已知《易知》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为__________寸．
