题目内容
【题目】已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=log3x,
(1)求f(x)的解析式;
(2)解不等式f(x)≤2.
【答案】
(1)解:易知f(0)=0;
当x<0时,则﹣x>0,所以f(x)=﹣f(﹣x)=﹣log3(﹣x);
所以f(x)=
(2)解:由题意:当x>0时有log3x≤2,解得0<x≤9;
当x=0时,f(0)=0显然满足题意;
当x<0时有﹣log3(﹣x)≤2,即log3(﹣x)≥﹣2,解得 .
综上可得原不等式的解集为[0,9]
【解析】(1)根据函数为奇函数,可设x<0,则﹣x>0,然后将﹣x代入x>0时的解析式化简即可;(2)按照分段函数分段处理的原则列出不等式,分别解之,最终取并集即可.
【考点精析】掌握函数奇偶性的性质是解答本题的根本,需要知道在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;奇函数的加减仍为奇函数;奇数个奇函数的乘除认为奇函数;偶数个奇函数的乘除为偶函数;一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇.
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