Question

（4—1：几何证明选讲）如图，是圆的切线，是切点，直线交圆于、两点，是的中点，连结并延长交圆于点，若，∠，则________．

Answer 1

解：连接OA，过O作OF⊥AE，过A作AM⊥PC，如图所示，
∵PA为圆O的切线，
∴∠PAO=90°，又PA=，∠APB=30°，∴∠AOD=120°，
∴OA=PAtan30°=×  =2，又D为OC中点，故OD=1，
根据余弦定理得：AD²=OA²+OD²-2OA•ODcos∠AOD=4+1+2=7，解得：AD=" 7" ，
∵在Rt△APM中，∠APM=30°，且AP="2" 3 ，
∴AM=AP= ，
故三角形AOD的面积S= OD•AM=  ，则S=AD•OF=  OF= ，
∴OF=  ，
在Rt△AOF中，根据勾股定理得：AF²= OA²-OF² =，
则AE=2AF=．
故答案为：