题目内容
【题目】已知椭圆E: +
=1(a>b>0)的离心率为
,直线x+y+
=0与椭圆E仅有一个公共点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)直线l被圆O:x2+y2=3所截得的弦长为3,且与椭圆E交于A、B两点,求△ABO面积的最大值.
【答案】
(1)解:由 ,得
,即
,∴a2=2b2,
则椭圆方程为x2+2y2﹣2b2=0.
联立 ,消去y得,
,
由 ,解得:b2=1.
∴椭圆方程为:
(2)解:∵直线l被圆O:x2+y2=3所截得的弦长为3,
∴原点O到直线l的距离为 .
①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=± ,代入椭圆
,得y=
,
不妨设A( ),B(
),
则 ;
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,即kx﹣y+m=0,
由 ,得4m2=3k2+3.
联立 ,消去y得,(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0.
,
∴|AB|= =
=
.
设k2=t,
令y= ,则(4y﹣5)t2+(4y﹣6)t+y﹣1=0,
当y= 时,可得t=
,符合题意;
当y 时,由△=(4y﹣6)2﹣(4y﹣5)(4y﹣4)≥0,得y
且y
.
综上,y .
∴当斜率存在时, =
.
综①②可知,△ABO面积的最大值为
【解析】(1)由椭圆的离心率可得a2=2b2 , 得到椭圆方程x2+2y2﹣2b2=0,联立直线方程和椭圆方程,由判别式等于0求得b2 , 则椭圆方程可求;(2)由直线l被圆O:x2+y2=3所截得的弦长为3,得到坐标原点到直线l的距离为 ,然后分直线l的斜率存在和不存在两种情况求△ABO面积,当直线l的斜率不存在时,直接求解,当直线l的斜率存在时,设出直线方程y=kx+m,由原点到直线的距离列式,把m用含有k的代数式表示,然后再由弦长公式求得弦长,换元后利用判别式法求得弦长的最大值,求出斜率存在时△ABO面积的最大值,最后比较得答案.
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