Question

【题目】已知椭圆的左右两个焦点为，离心率为，过点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线与椭圆C相交于两点，椭圆的左顶点为，连接并延长交直线于两点 ，分别为的纵坐标，且满足.求证：直线过定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）由离心率e＝ 和椭圆过点（，1）得a，b，c关系，解方程组，即可得到a，b，从而求出椭圆方程；（2）联立直线l方程和椭圆方程，得到关于x的二次方程，由判别式大于0，运用韦达定理，将已知条件化简整理，可得k，m的等量关系，结合直线l的方程，即可判断直线恒过的定点．

（1）由 ,过点

解得，，故椭圆C的方程为.

（2）联立消去y，

得，

则，

又、

，

设直线MA：，则，同理

∵， ∴，即，

∴， ∴，

即.

∴

∴，故.

故直线方程为，可知该直线过定点．