Question

【题目】如图所示，在棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，底面是菱形，且，为的中点，二面角为.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点，连接，利用等腰三角形的性质和线面垂直的判定定理可证明，再证明即可（2）利用平面可得是二面角的平面角，即，再利用菱形的性质和三垂线定理及其逆定理可证是二面角的平面角，求出即可.

（1）证明：取的中点，连接，．

∵侧面是边长为的正三角形，．

∵底面是菱形，且，∴也是边长为的正三角形，

∴．又∵，∴平面，∴．

在中，，为的中点，∴，

又，∴平面．

（2）∵平面，∴是二面角的平面角，∴．

又∵底面是菱形，∴，∴平面，∴，．

又∵平面平面，

∴是二面角的平面角． ∵，，∴，∴，∴．

∴ 二面角的大小为．