Question

【题目】椭圆C： =1（a＞b＞0），作直线l交椭圆于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，设直线l的斜率为k1 ， 直线OM的斜率为k2 ， k1k2=﹣ ．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设直线l与x轴交于点D（﹣ ，0），且满足 =2 ，当△OPQ的面积最大时，求椭圆C的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），

代入椭圆C的方程有： ，

两式相减： ，

即 ，

直线l的斜率为k1，直线OM的斜率为k2，

可得k1= ，k2= ，

即有 ，

即b2= a2，c2=a2﹣b2= a2，

可得 ；

（2）解：由（1）知 ，得a2=3c2，b2=2c2，

可设椭圆C的方程为：2x2+3y2=6c2，

设直线l的方程为： ，

代入椭圆C的方程有 ，

因为直线l与椭圆C相交，所以△=48m2﹣4（2m2+3）（6﹣6c2）＞0，

由韦达定理： ， ．

又 ，所以y1=﹣2y2，代入上述两式有： ，

= ，

当且仅当 时，等号成立，此时c2=5，代入△，有△＞0成立，

所以所求椭圆C的方程为：

【解析】（1）设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），代入椭圆方程，作差，结合直线的斜率公式和中点坐标公式，即可得到b2= a2 ， 运用离心率公式可得所求；（2）椭圆C的方程为：2x2+3y2=6c2 ， 设直线l的方程为： ，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由向量共线的坐标表示，求得三角形的面积，化简运用基本不等式可得最大值，即可得到所求椭圆方程．