Question

【题目】已知椭圆E的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，点M 在椭圆E上． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）设P（﹣4，0），直线y=kx+1与椭圆E交于A，B两点，若∠APO=∠BPO，（其中O为坐标原点），
求k的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为抛物线焦点为（1，0），所以椭圆的焦点坐标为F2（1，0），F1（﹣1，0），

又因为M（1， ）在椭圆上，

所以2a=|MF1|+|MF2|= + =4，

即a=2，又因为c=1 所以b2=a2﹣c2=3，

所以椭圆的方程是 + =1；

（Ⅱ）若∠APO=∠BPO，则kPA+kPB=0，

设A（x1，kx1+1），B（x2，kx2+1），

∴ ，

联立 ，消去y得到（3+4k2）x2+8kx﹣8=0，

∴ ，

∴ ，

即﹣16k﹣32k2﹣8k+24+32k2=0，

∴k=1

【解析】（Ⅰ）求出抛物线的焦点，可得椭圆的焦点，由椭圆的定义，运用两点的距离公式可得2a=4，即a=2，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）若∠APO=∠BPO，则kPA+kPB=0，设A（x1，kx1+1），B（x2，kx2+1），运用直线的斜率公式，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，化简整理可得k的方程，解方程即可得到k的值．