题目内容
【题目】已知函数 是偶函数.
(1)求 的值;
(2)若函数 没有零点,求 得取值范围;
(3)若函数 , 的最小值为0,求实数 的值.
【答案】
(1)解:∵ 是偶函数,∴ ,
即 对任意 恒成立.
∴ ,
∴
(2)解:函数 没有零点,即方程 无实数根.
令 ,则函数 的图象与直线 无交点,
∵
,
又 ,∴ ,
∴ 的取值范围是 .
(3)解:由题意 , ,
令 , , ,
①当 ,即 时,
, ;
②当 ,即 时,
, (舍去);
③当 ,即 时,
, (舍去).
综上可知,实数
【解析】(1)根据偶函数的定义f(-x) =f(x)再结合对数的运算性质 即可求出结果。(2)首先把零点问题转化为方程根的问题,再构造函数g ( x )利用数学结合的思想转化为函数 y = g ( x ) 的图象与直线 y = a 无交点,再根据题意利用对数的运算性质以及对数函数的单调性求出函数 g(x) 的取值范围,进而求出使得函数 y = g ( x ) 的图象与直线 y = a 无交点的a的取值范围。(3)由整体思想 t = 2x ∈ [ 1 , 3 ]转化整理函数 h(x)为φ ( t ) = t2 + m t,利用二次函数在指定区间上的最值问题对对称轴分情况讨论,进而求出在不同区间上的m的值。
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