Question

【题目】如图，在五面体 中，四边形 是边长为 的正方形， 平面 ， ， ， ， .

（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正切值.

Answer 1

【答案】
（1）证明：取 的中点 ，连接 ，则 ，

由（1）知， ，且 ， 四边形 为平行四边形， ， ，
在 中， ，又 ，得 ， ，
在 中， ， ， ， ， ， ，即 ，
四边形 是正方形， ， ， 平面 ， 平面 ， 平面
（2）解：解法1：连接 ， 与 相交于点 ，则点 是 的中点，
取 的中点 ，连接 、 、 ，

则 ， .
由（1）知 ，且 ， ，且 . 四边形 是平行四边形. ，且 ，
由（1）知 平面 ，又 平面 ， .
， ， 平面 ， 平面 ， 平面 . 平面 .
平面 ， .
， ， 平面 ， 平面 ， 平面 . 是直线 与平面 所成的角.
在 中， . 直线 与平面 所成角的正切值为 ；
【解析】(1)根据题意作出辅助线利用平行四边形以及勾股定理可得出分别求出 E M、 F B的值，再利用勾股定理可得证A M ⊥ E M结合已知由线面垂直的判定定理可得证。(2)结合已知作出辅助线利用平行四边形和(1)的结论可得证FH⊥AB，由线面垂直的判定定理结合已知条件可得证E O ⊥ 平面 A B C D，再由线面垂直的性质定理可得出E O ⊥ A O ，进而找到直线AE在平面BDE上的射影故∠ A E O 是直线 A E 与平面 B D E 所成的角，借助解三角形的知识求出其值即可。