题目内容
【题目】设m为整数,.整数数列
满足:
不全为零,且对任意正整数n,均有
.证明:若存在整数r、s(r>s≥2)使得
,则
.
【答案】证明见解析
【解析】
首先假设互素,根据题目所给递推关系得到
,然后利用数学归纳法证得对任意整数n≥3,有
成立,通过证明
成立,得到
,从而证得结论成立.
不妨设互素(否则,若
,则
与
互素,并且用
代替
条件与结论均不改变).
由数列递推关系知①
以下证明:对任意整数n≥3,有②
事实上,当n=3时②显然成立.假设n=k时②成立(其中k为某个大于2的整数),注意到①,有,结合归纳假设知
,
即n=k+1时②也成立.因此②对任意整数n≥3均成立.
注意,当时,②对n=2也成立.
设整数r、s(r>s≥2),满足.
若,由②对n≥2均成立,可知
,
即,即
③
若,则
,故r>s≥3.
此时由于②对n≥3均成立,故类似可知③仍成立.
再证明a2,m互素:
事实上,假如a2与m存在一个公共素因子p,则由①得p为的公因子,而
互素,故
,这与
矛盾.
因此,由③得.又r>s,所以
.
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