题目内容
【题目】如图所示,四边形为菱形,
,二面角
为直二面角,点
是棱
的中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若,当二面角
的余弦值为
时,求直线
与平面
所成的角.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)设点是棱
的中点,连接
,根据面面垂直的性质定理,得到
平面
,进而得到
,再由
,结合线面垂直的判定定理,即可求解;
(Ⅱ)解法一:设点是
与
的交点,证得
为二面角
的平面角,结合解三角形的知识,即可求解;解法二:设点
是
与
的交点,以
所在直线为
轴
所在直线为
轴,过点
垂直平面
的直线为
轴,建立空间直角坐标系,可得平面
的一个法向量
,结合向量的夹角公式,即可求解.
(Ⅰ)如图所示,设点是棱
的中点,连接
,
由及点
是棱
的中点,可得
,
又二面角为直二面角,故
平面
,
又因为平面
,所以
,
又因为四边形为菱形,所以
,
而是
的中位线,所以
,可得
,
又由,且
平面
,
平面
,
所以平面
, 又因为
平面
,
所以.
(Ⅱ)解法一:设点是
与
的交点,
由(Ⅰ)可知平面
,
又均在平面
内,从而有
,
故为二面角
的平面角,
因为,所以
为等边三角形.
不妨设菱形的边长为
.
则在中,
,
于是
在中,
,
故,
整理得,
.
因为平面
,所以
为直线
与平面
所成的角.
则,
所以直线与平面
所成的角为
.
解法二:设点是
与
的交点,
以所在直线为
轴
所在直线为
轴,
过点垂直平面
的直线为
轴,建立空间直角坐标系.
设,则
,
,
则,
设平面的法向量为
,
则,即
,
取,得
的一个法向量为
,
则,解得
,
则,
,
则,
则直线与平面
所成的角为
.
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