题目内容

【题目】如图,矩形中,的中点.把沿翻折,使得平面平面

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)求所在直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)证明空间中两异面直线垂直的常用方法为先证明直线与平面垂直,再证明另一条直线在这个平面内;(Ⅱ)用等体积法求解,或建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量和平面的法向量的夹角求解.

解:(Ⅰ)证明:∵的中点,

矩形中,

,则

∵平面平面

平面平面

平面

(Ⅱ)解法一:取的中点,连接,则

∵平面平面,平面平面

平面

设点到平面的距离为

中,,则

,则

所在直线与平面所成角为

,∴

所在直线与平面所成角的正弦值为

解法二:取的中点,连接,则

的中点,连接,则

平面

∴以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,建

立如图所示的空间直角坐标系.

∴设为平面的一个法向量,

所以,令,则

所在直线与平面所成角为

所在直线与平面所成角的正弦值为

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