题目内容
【题目】如图,矩形中,,,为的中点.把沿翻折,使得平面平面.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求所在直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)证明空间中两异面直线垂直的常用方法为先证明直线与平面垂直,再证明另一条直线在这个平面内;(Ⅱ)用等体积法求解,或建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量和平面的法向量的夹角求解.
解:(Ⅰ)证明:∵为的中点,
矩形中,,,
∴,则,
∴.
∵平面平面,
平面平面,
∴平面,
∴.
(Ⅱ)解法一:取的中点,连接,,则.
∵平面平面,平面平面,
∴平面,
∴,
设点到平面的距离为,
∴.
在中,,,则,
∴,则.
设所在直线与平面所成角为,
∵,∴,
即所在直线与平面所成角的正弦值为
解法二:取的中点,连接,则,
取的中点,连接,则,
∴平面,
∴以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,建
立如图所示的空间直角坐标系.
则,,,,
∴,,,
∴设为平面的一个法向量,
∴,,
所以,令,则
∴.
设所在直线与平面所成角为,
∴,
即所在直线与平面所成角的正弦值为.
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