题目内容
【题目】在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为(米/单位时间),单位时间内用氧量为
(
为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为
(米/单位时间), 单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为
.
(1)将表示为
的函数;
(2)设0<≤5,试确定下潜速度
,使总的用氧量最少.
【答案】(1);
(2)当时,下潜速度为
时,用氧量最小值为
;
当时,,下潜速度为5时,用氧量最小值为
【解析】
试题分析:本题考查函数建模与求函数最值相关问题.(1)根据实际意义,列出在各个阶段的用氧量相加即可求出函数解析式;(2)由函数解析式,得用基本不等式和导数研究函数的最值.
试题解析:(1)潜入水底用时,用氧量为
,
水底作业用氧量为
返回水面用时,用氧量为
所以.
(2)
当且仅当,即
时取等号,
当即
时,
时,
的最小值为
.
当时,即
时,
,
因此函数在
上是减函数,
所以当时,
的最小值为
.
综上,当时,下潜速度为
时,用氧量最小值为
;
当时,,下潜速度为5时,用氧量最小值为
.
考点:实际应用,函数建模,求函数最值,基本不等式.
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