Question

7．已知数列{a_n}有a₁=a，a₂=p（常数p＞0），对任意的正整数n，S_n=a₁+a₂+…+a_n，并有S_n满足S_n=$\frac{n（{a}_{n}-{a}_{1}）}{2}$．
（1）求a的值；
（2）试确定数列{a_n}是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；
（3）对于数列{b_n}，假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有b_n＜b，且$\underset{lim}{n→∞}$b_n=b，则称b为数列{b_n}的“上渐近值”，令p_n=$\frac{{S}_{n+2}}{{S}_{n+1}}$+$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n+2}}$，求数列{p₁+p₂+…+p_n-2n}的“上渐近值”．

Answer 1

分析 （1）通过在S_n=$\frac{n（{a}_{n}-{a}_{1}）}{2}$中令n=1计算即得结论；
（2）通过a_n=S_n-S_n-1计算可知a_n=$\frac{n-1}{n-2}$a_n-1，累乘即得结论；
（3）通过（2）可知S_n=$\frac{n（n-1）p}{2}$，进而裂项可知p_n=2+2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），并项相加、取极限即得结论．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{n（{a}_{n}-{a}_{1}）}{2}$，
∴a₁=$\frac{{a}_{1}-{a}_{1}}{2}$=0，
∴a₁=a=0；
（2）由（1）可知a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n{a}_{n}-（n-1）{a}_{n-1}}{2}$，
∴a_n=$\frac{n-1}{n-2}$a_n-1，
∴a_n=$\frac{n-1}{n-2}$•$\frac{n-2}{n-3}$•…•$\frac{3}{2}$•$\frac{2}{1}$•a₂=（n-1）p，
∴数列{a_n}是以0为首项、p为公差的等差数列；
（3）由（2）可知S_n=$\frac{n（{a}_{n}-{a}_{1}）}{2}$=$\frac{n（n-1）p}{2}$，
∴p_n=$\frac{{S}_{n+2}}{{S}_{n+1}}$+$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n+2}}$=$\frac{n+2}{n}$+$\frac{n}{n+2}$=2+2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴p₁+p₂+…+p_n-2n=2（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=2（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=3-2（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）
＜3，
∵$\underset{lim}{n→∞}$（p₁+p₂+…+p_n-2n）=3，
∴数列{p₁+p₂+…+p_n-2n}的“上渐近值”为3．

点评 本题是一道数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．