题目内容
2．已知数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3），则这个数列的通项公式为an=$\frac{7•{3}^{n-1}+13•（-1）^{n-1}}{4}$．分析 通过an=2an-1+3an-2（n≥3）变形为an+λan-1=m（an-1+λan-2）形式计算可求．
解答 解：∵an=2an-1+3an-2（n≥3），
∴an+an-1=3（an-1+an-2），
又∵a2+a1=2+5=7，
∴数列{an+1+an}是以7为首项、3为公比的等比数列，
∴an+1+an=7•3n-1；
∵an=2an-1+3an-2（n≥3），
∴an-3an-1=-（an-1-3an-2），
又∵a2-3a1=2-3•5=-13，
∴数列{an+1-3an}是以-13为首项、-1为公比的等比数列，
∴an+1-3an=-13•（-1）n-1；
∴an=$\frac{（{a}_{n+1}+{a}_{n}）-（{a}_{n+1}-3{a}_{n}）}{4}$=$\frac{7•{3}^{n-1}+13•（-1）^{n-1}}{4}$，
故答案为：$\frac{7•{3}^{n-1}+13•（-1）^{n-1}}{4}$．
点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
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