题目内容
16．斜率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的直线与焦点在x轴上的双曲线x2-$\frac{y^2}{b^2}$=1（b＞0）交于不同的两点P、Q．若点P、Q在x轴上的投影恰好为双曲线的两焦点，则该双曲线的焦距为（ ）| A． | $\sqrt{2}$ | B． | 2 | C． | 2$\sqrt{2}$ | D． | 4 |
分析 设斜率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直线l：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+t，代入双曲线方程，消去y，由题意可得，方程的两根分别为-c，c．则有t=0，代入c，得到方程，再由a，b，c的关系，可得c的方程，计算即可得到所求．
解答 解：设斜率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直线l：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+t，
代入双曲线方程，消去y，可得，（b2-$\frac{1}{2}$）x2-$\sqrt{2}$tx-t2-b2=0，
由于点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，
则有上式的两根分别为-c，c．
则t=0，即有（b2-$\frac{1}{2}$）c2=b2，由于b2=c2-1，
则有2c4-5c2+2=0，
解得c2=2（$\frac{1}{2}$舍去），
则c=$\sqrt{2}$．焦距为2$\sqrt{2}$．
故选：C．
点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．
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6．若双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=4bx的焦点分成5：3两段，则此双曲线的渐近线为（ ）
| A． | 3x±5y=0 | B． | 5x±3y=0 | C． | $x±\sqrt{15}y=0$ | D． | $\sqrt{15}x±y=0$ |
4．
如图是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的图象，将该图象向右平移m（m＞0）个单位后，所得图象关于直线x=$\frac{π}{4}$对称，则m的最小值为（ ）
如图是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的图象，将该图象向右平移m（m＞0）个单位后，所得图象关于直线x=$\frac{π}{4}$对称，则m的最小值为（ ）| A． | $\frac{π}{12}$ | B． | $\frac{π}{6}$ | C． | $\frac{π}{4}$ | D． | $\frac{π}{3}$ |
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