Question

已知集合，若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为子集，记子集的个数为．
（1）当时，写出所有子集；
（2）求；
（3）记，求证：

Answer 1

（1）；（2）133；（3）详见解析

试题分析：（1）当子集中只含有2个元素时，含1时，另一个元素只能是3或4或5；含2时另一个元素只能是4或5；含3时另一个元素只能是5；当子集中含3个元素时只能是1、3、5这三个元素。（2）应先求关于 的解析式：的子集可分为两类：第一类子集中不含有，相当于的子集个数；第二类子集中含有则肯定不含，相当于的子集个数和的单元素与元素构成的集合数，即，分析可知，则可求。（3）可用错位相减法证明。
解：（1）当时，所以子集：，，，，，，．
（2）的子集可分为两类：第一类子集中不含有，这类子集有个；
第二类子集中含有，这类子集成为的子集与的并，或的单元素子集与的并，共有个．
所以．
因为，，
所以，，，，，．
（3）因为，   ①
所以   ②
①②得






所以．