Question

【题目】用长度分别为的四根木条围成一个平面四边形，则该平面四边形面积的最大值是____.

Answer 1

【答案】

【解析】

在四边形ABCD中，设AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，A+C＝2α，利用余弦定理可得 SABCD2+（（a2+d2﹣b2﹣c2）2＝（ad+bc）2﹣abcdcos2α（ad+bc）2，设a＝3，b＝4，c＝5，d＝6，代入计算可得所求最大值．

在四边形ABCD中，设AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，A+C＝2α，

由SABCD＝S△BAD+S△BCD＝adsinA+bcsinC，①

在△ABD中，BD2＝a2+d2﹣2adcosA，

在△BCD中，BD2＝b2+c2﹣2bccosC，

所以有a2+d2﹣b2﹣c2＝2adcosA﹣2bccosC，

（a2+d2﹣b2﹣c2）＝adcosA﹣bccosC，②

①2+②2可得SABCD2+（（a2+d2﹣b2﹣c2）2

＝（a2d2sin2A+b2c2sin2C+2abcdsinAsinC）+（a2d2cos2A+b2c2cos2C﹣2abcdcosAcosC）

＝ [a2d2+b2c2﹣2abcdcos（A+C）]＝ [（ad+bc）2﹣2abcd﹣2abcdcos2α]

＝（ad+bc）2﹣abcdcos2α（ad+bc）2．

当α＝90°，即四边形为圆内接四边形，此时cosα＝0，

SABCD取得最大值为．

由题意可设a＝3，b＝4，c＝5，d＝6

则该平面四边形面积的最大值为S＝6（cm2），

故答案为：6．