题目内容
【题目】如图，在直三棱柱
中，
，
分别是
的中点，且
.
（1）求直线
与
所成角的大小；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）
；（2）
．
【解析】
试题由已知有AC、BC、CC1两两互相垂直，故可分别以
、
、
所在直线为
轴建立空间直角坐标系.然后由已知就可写出所需各点的空间坐标．（1）由此就可写出向量
的坐标，然后再由两向量的夹角公式：
求出这两向量的夹角的余弦值，最后转化为对应两直线的夹角大小；只是应该注意两直线的夹角的取值范围是
，而两向量的夹角的取值范围是
；所以求出两向量的夹角的余弦值后取绝对值才是两直线的夹角的余弦值；（2）由中点坐标公式可求得点Ｅ的坐标，进而就可写出向量
的坐标，再设平面
的一个法向量为
,由
,就可求出平面的一个法向量，从而就可求得这两向量夹角的余弦值，注意直线与平面所成的角的正弦值就等于直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值．
试题解析：解：分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则由题意可得：
,
,
,
,
,
,
又
分别是
的中点，
,
. 3分
（1）因为
，
，
所以
， 7分
直线
与
所成角的大小为. 8分
（2）设平面的一个法向量为,由,得
,
可取
， 10分
又
，所以
， 13分
直线
与平面所成角的正弦值为. 14分
【题目】某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取
名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 |
| 5 |
|
第2组 |
| ① |
|
第3组 |
| 30 | ② |
第4组 |
| 20 |
|
第5组 |
| 10 |
|
（1）请先求出频率分布表中
位置的相应数据，再完成频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第
组中用分层抽样抽取名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；
（3）在（2）的前提下，学校决定在
名学生中随机抽取
名学生接受
考官进行面试，求：第
组至少有一名学生被考官面试的概率．
