题目内容
【题目】已知函数.
(1)若函数的图象在
处的切线方程为
,求
,
的值;
(2)若,
,使
成立,求
的取值范围.
【答案】(1) .
(2).
【解析】分析:的图象在
处的切线方程为
,得出(1,
)坐标带入
中,及
=
,即可解出
,
的值
(2)构造函数,
在
上的最大值为
,问题等价于:
,不等式
恒成立,构造
>
进行解决问题
详解:,
(1),
,
由,
得.
令,
,
所以函数在
上单调递增,又
,所以
.
(2)令,因为当
时,函数
在
上单调递增,所以
,
于是函数在
上一定单调递增.
所以在
上的最大值为
.
于是问题等价于:,不等式
恒成立.
记
,
则.
当时,因为
,
,所以
,
则在区间
上单调递减,此时,
,不合题意.
故必有.
若,由
可知
在区间
上单调递减,
在此区间上,有,与
恒成立矛盾.
故,这时
,
在
上单调递增,
恒有,满足题设要求.
所以,即
.
所以的取值范围为
.
点晴:本题主要考察导数综合题:能成立恒成立问题,这类型题目主要就是最值问题,学会对问题的转化是关键,本题主要在做题的过程中构造函数后发现是解决本题的关键。
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练习册系列答案
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【题目】在一次抽样调查中测得样本的6组数据,得到一个变量关于
的回归方程模型,其对应的数值如下表:
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
(1)请用相关系数加以说明
与
之间存在线性相关关系(当
时,说明
与
之间具有线性相关关系);
(2)根据(1)的判断结果,建立关于
的回归方程并预测当
时,对应的
值为多少(
精确到
).
附参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
,相关系数
公式为:
.
参考数据:
,
,
,
.