题目内容
已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),对任意的x∈R,恒有f′(x)≤f(x).
(1)证明:当x≥0时,f(x)≤(x+c)2;
(2)若对满足题设条件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,求M的最小值.
(1)证明:当x≥0时,f(x)≤(x+c)2;
(2)若对满足题设条件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,求M的最小值.
(1)见解析(2)
(1)易知f′(x)=2x+b.由题设,对任意的x∈R,2x+b≤x2+bx+c,即x2+(b-2)x+c-b≥0恒成立,所以(b-2)2-4(c-b)≤0,从而c≥+1.于是c≥1,
且c≥2 =|b|,因此2c-b=c+(c-b)>0.
故当x≥0时,有(x+c)2-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)≥0.即当x≥0时,f(x)≤(x+c)2.
(2)由(1)知c≥|b|.当c>|b|时,有
M≥
令t=,则-1<t<1,=2-.
而函数g(t)=2- (-1<t<1)的值域是.
因此,当c>|b|时,M的取值集合为.
当c=|b|时,由(1)知b=±2,c=2.此时f(c)-f(b)=-8或0,c2-b2=0,从而f(c)-f(b)≤ (c2-b2)恒成立.
综上所述,M的最小值为.
且c≥2 =|b|,因此2c-b=c+(c-b)>0.
故当x≥0时,有(x+c)2-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)≥0.即当x≥0时,f(x)≤(x+c)2.
(2)由(1)知c≥|b|.当c>|b|时,有
M≥
令t=,则-1<t<1,=2-.
而函数g(t)=2- (-1<t<1)的值域是.
因此,当c>|b|时,M的取值集合为.
当c=|b|时,由(1)知b=±2,c=2.此时f(c)-f(b)=-8或0,c2-b2=0,从而f(c)-f(b)≤ (c2-b2)恒成立.
综上所述,M的最小值为.
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