题目内容

已知函数f(x)=x2bxc(bc∈R),对任意的x∈R,恒有f′(x)≤f(x).
(1)证明:当x≥0时,f(x)≤(xc)2
(2)若对满足题设条件的任意bc,不等式f(c)-f(b)≤M(c2b2)恒成立,求M的最小值.
(1)见解析(2)
(1)易知f′(x)=2xb.由题设,对任意的x∈R,2xbx2bxc,即x2+(b-2)xcb≥0恒成立,所以(b-2)2-4(cb)≤0,从而c+1.于是c≥1,
c≥2 =|b|,因此2cbc+(cb)>0.
故当x≥0时,有(xc)2f(x)=(2cb)xc(c-1)≥0.即当x≥0时,f(x)≤(xc)2.
(2)由(1)知c≥|b|.当c>|b|时,有
M
t,则-1<t<1,=2-.
而函数g(t)=2- (-1<t<1)的值域是.
因此,当c>|b|时,M的取值集合为.
c=|b|时,由(1)知b=±2,c=2.此时f(c)-f(b)=-8或0,c2b2=0,从而f(c)-f(b)≤ (c2b2)恒成立.
综上所述,M的最小值为.
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