Question

【题目】已知函数f（x）= x3+ax2﹣bx（a，b∈R），若y=f（x）图象上的点（1，﹣ ）处的切线斜率为﹣4，
（1）求f（x）的表达式．
（2）求y=f（x）在区间[﹣3，6]上的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= x3+ax2﹣bx，

∴f′（x）=x2+2ax﹣b，

∵y=f（x）图象上的点（1，﹣ ）处的切线斜率为﹣4，

∴f′（1）=﹣4，f（1）=﹣ ，

∴1+2a﹣b=﹣4．①， +a﹣b=- ，即a﹣b+4=0．②

由①②解得a=﹣1，b=3，

∴f（x）= x3﹣x2﹣3x

（2）解：∵f（x）= x3﹣x2﹣3x．

∴f′（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1）．

令f′（x）=0，解得x=﹣1或3．

∴在x∈[﹣3，6]上，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	﹣3	（﹣3，﹣1）	﹣1	（﹣1，3）	3	（3，6）	6
f′（x）		+	0	﹣	0	+
f（x）	﹣9	单调递增↗	极大值	单调递减↘	极小值﹣9	单调递增↗	18

∴当x∈[﹣3，6]时，f（x）max=f（6）=18，

f（x）min=f（3）=f（﹣3）=﹣9

【解析】（1）根据导数的几何意义，建立方程关系即可求f（x）的表达式．（2）求函数的导数，利用函数的单调性和最值与导数之间的关系，即可求y=f（x）在区间[﹣3，6]上的最值．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．