Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点P是圆x2+y2=4上一动点，PD⊥x轴于点D，记满足 = （ + ）的动点M的轨迹为Γ． （Ⅰ）求轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）已知直线l：y=kx+m与轨迹F交于不同两点A，B，点G是线段AB中点，射线OG交轨迹Γ于点Q，且 =λ ，λ∈R．
①证明：λ2m2=4k2+1；
②求△AOB的面积S（λ）的解析式，并计算S（λ）的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设M（x，y），P（x0 ， y0），则D（x0 ， 0），且x02+y02=4，① ∵ = （ + ），
∴x0=x，y0=2y，②
②代入①可得x2+4y2=4；
（Ⅱ）①证明：设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
由直线代入椭圆方程，消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
∴x1+x2= ，x1x2= （1）
∴y1+y2=k（x1+x2）+2m= ，
又由中点坐标公式，得G（ ， ），
将Q（ ， ）代入椭圆方程，化简，得λ2m2=1+4k2 ， （2）．
②解：由（1），（2）得m≠0，λ＞1且|x1﹣x2|= ，（3）
结合（2）、（3），得S△AOB= ，λ∈（1，+∞），
令 =t∈（0，+∞），则S= ≤ ≤1（当且仅当t=1即λ= 时取等号），
∴λ= 时，S取得最大值1
【解析】（Ⅰ）利用代入法求椭圆方程；（Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由直线代入椭圆方程，消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能证明结论．②由已知条件得m≠0，|x1﹣x2|= ，由此能求出△AOB的面积，再利用基本不等式求最大值．