Question

【题目】已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=kx（k∈R）．
（1）证明：当x＞0时，f（x）＜x；
（2）证明：当k＜1时，存在x0＞0，使得对任意的x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）．

Answer 1

【答案】
（1）解：令F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x∈（0，+∞），

则有F′（x）= ﹣1=﹣ ．

当x∈（0，+∞）时，F′（x）＜0，所以F（x）在（0，+∞）上单调递减；

故当x＞0时，F（x）＜F（0）=0，即当x＞0时，f（x）＜x

（2）解：令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），

则有G′（x）= ﹣k= ．

当k≤0时G′（x）＞0，所以G（x）在（0，+∞）上单调递增，

G（x）＞G（0）=0，故对任意正实数x0均满足题意．

当0＜k＜1时，令G′（x）=0，得x= = ﹣1＞0．

取x0= ﹣1，对任意x∈（0，x0），恒有G′（x）＞0，

从而G（x）在（0，x0）上单调递增，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）

【解析】（1）构造函数F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x∈（0，+∞），利用函数F（x）的单调性，只需求出F（x）值域即可；（2）构造函数G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），利用其单调性，讨论其值域情况即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．