Question

3．已知关于x的一元二次方程x²-2ax+b²=0，其中a，b∈R．
（I）若a随机选自集合{0，1，2，3，4}，b随机选自集合{0，1，2，3}，求方程有实根的概率；
（Ⅱ）若a随机选自区间[0，4]，b随机选自区间[0，3]，求方程有实根的概率．

Answer 1

分析 （I）根据判别式△≥0得出一元二次方程有实根的条件为事件A，
由a∈{0，1，2，3，4}，b∈{0，1，2，3}，列出基本事件数，计算对应的概率即可；
（II）利用几何概型求出对应的概率即可．

解答 解：（I）设“关于x的一元二次方程x²-2ax+b²=0有实根”为事件A，
由△=（-2a）²-4b²≥0，得a²≥b²；
因为a≥0，b≥0，
所以a≥b时事件A发生；
又a∈{0，1，2，3，4}，b∈{0，1，2，3}，
所以它的基本事件共20个：
（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），
（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），
（3，2），（3，3），（4，0），（4，1），（4，2），（4，3）；（3分）
且事件A包含的基本事件有14个：
（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），
（3，1），（3，2），（3，3），（4，0），（4，1），（4，2），（4，3）；（4分）
所以P（A）=$\frac{14}{20}=\frac{7}{10}$；（5分）
（II）因为a∈[0，4]，b∈[0，3]，
则试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3}，
Ω的面积为μ_Ω=3×4=12；（6分）
事件A所构成的区域A={（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3，a≥b}，
A的面积为${μ_A}=3×4-\frac{1}{2}×3×3=\frac{15}{2}$，如图所示；（8分）
所以P（A）=$\frac{μ_A}{μ_Ω}=\frac{{\frac{15}{2}}}{12}=\frac{5}{8}$．（9分）

点评 本题考查了用列举法求古典概型的概率问题，也考查了几何概型的应用问题，是基础题目．