Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+ =0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线L：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且kOAkOB=﹣ ，求证：△AOB的面积为定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：由题意得 a2=4，b2=3．
∴椭圆的方程为： ；
（Ⅱ）证明：设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
则A，B的坐标满足 ，消去y化简得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．
，
由△＞0，得4k2﹣m2+3＞0．
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=
= = ．
∵ = ，
∴ ，即 ．
∴ ，即2m2﹣4k2=3．
∵ =
= ．
又O点到直线y=kx+m的距离d= ，
∴ =
= = 为定值
【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率等于 ，原点O到直线 的距离等于b及隐含条件c2=a2﹣b2联立方程组求解a2 ， b2的值，则椭圆C的标准方程可求；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，消去y后利用根与系数关系得到A，B两点的横纵坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由点到直线的距离公式求得O到AB的距离，代入三角形的面积公式证得答案．