题目内容
【题目】已知函数.
(1)若函数与函数
在点
处有共同的切线
,求
的值;
(2)证明: ;
(3)若不等式对所有
,
都成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)t=2;(2)证明见解析;(3) .
【解析】试题分析:
(1)由题意可知: ,据此得到关于实数t的方程,解方程可得:t=2;
(2)构造新函数,结合导函数讨论函数的最大值即可证得题中的结论;
(3)将原问题转化为对所有的
,
都成立,讨论函数
,
的性质,结合函数的性质可得实数
的取值范围是
.
试题解析:
(1),
,
∵与
在点
处有共同的切线
,
∴,即
.
(2)令,则
,
则在
上是增函数,在
上是减函数,
∴的最大值为
,∴
的最小值是1.
设,
,
故在
上是增函数,在
上是减函数,故
,
∴.
(3)不等式对所有的
,
都成立,
则对所有的
,
都成立,
令,
,
是关于
的一次函数,
∵,∴
,∴当
时,
取得最小值
,
即,当
时,恒成立,故
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目