题目内容
18.已知x,y∈R+,满足xy=$\frac{x-4y}{x+y}$,则y的最大值为$\sqrt{5}$-2.分析 变形已知式子可得yx2+(y2-1)x+4y=0,问题等价于关于x的方程有正实数根,由△≥0和x1x2=$\frac{4y}{y}$=4>0可得y的不等式,解不等式可得.
解答 解:∵x,y∈R+,满足xy=$\frac{x-4y}{x+y}$,
∴变形可得yx2+(y2-1)x+4y=0,
∵关于x的方程有正实数根,
∴△≥0,又x1x2=$\frac{4y}{y}$=4>0,∴x1与x2同号,
∴x1+x2=$\frac{1-{y}^{2}}{y}$>0,解得0<y<1.
由△≥0可得(y2-1)2-16y2≥0,
分解因式可得(y2+4y-1)(y2-4y-1)≥0.
∵0<y<1,∴y2-4y-1<0,
∴y2+4y-1≤0,解得0<y≤$\sqrt{5}$-2,
∴实数y的取值范围是(0,$\sqrt{5}$-2]
故答案为:$\sqrt{5}$-2.
点评 本题考查不等式求式子的范围,涉及一元二次方程的根的分布和一元二次不等式的解法,属中档题.
练习册系列答案
相关题目
6.对定义在R上的函数f(x),若实数x0满足f(x0)=x0,则x0称为f(x)的一个不动点.设二次函数f(x)=x2+mx-m+2,若f(x)在[0,+∞)上有不动点,则m的取值范围是( )
A. | [-1-2$\sqrt{2}$,2] | B. | (-∞,-1-2$\sqrt{2}$]∪[2,+∞) | C. | [-1,2] | D. | (-∞,-1]∪[2,+∞) |
13.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]<0.则( )
A. | f(1)<f(-2)<f(3) | B. | f(3)<f(1)<f(-2) | C. | f(一2)<f(1)<f(3) | D. | f(3)<f(-2)<f(1) |
3.函数f(x)=$\frac{{a}^{x+1}+{b}^{x+1}}{{a}^{x}+{b}^{x}}$(a>0,b>0,a≠b)在R上的单调性为( )
A. | 增函数 | B. | 减函数 | C. | 不增不减函数 | D. | 与a,b的取值有关 |
10.直角坐标系中,方程|x|•y=1表示的曲线是( )
A. | B. | ||||
C. | D. |