Question

3．函数f（x）=$\frac{{a}^{x+1}+{b}^{x+1}}{{a}^{x}+{b}^{x}}$（a＞0，b＞0，a≠b）在R上的单调性为（　　）

• A． 增函数
• B． 减函数
• C． 不增不减函数
• D． 与a，b的取值有关

Answer 1

分析 根据函数单调性的定义证明函数的单调性即可．

解答 解：设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）
=$\frac{{a}^{{x}_{1}+1}{+b}^{{x}_{1}+1}}{{a}^{{x}_{1}}{+b}^{{x}_{1}}}$-$\frac{{a}^{{x}_{2}+1}{+b}^{{x}_{2}+1}}{{a}^{{x}_{2}}{+b}^{{x}_{2}}}$
=$\frac{（a-b）{{（a}^{{x}_{1}}b}^{{x}_{2}}{{-a}^{{x}_{2}}b}^{{x}_{1}}）}{{（a}^{{x}_{1}}{+b}^{{x}_{1}}）{（a}^{{x}_{2}}{+b}^{{x}_{2}}）}$，
=$\frac{{{a}^{{x}_{2}}b}^{{x}_{1}}（a-b）{[（\frac{a}{b}）}^{{x}_{1}{-x}_{2}}-1]}{{（a}^{{x}_{1}}{+b}^{{x}_{1}}）{（a}^{{x}_{2}}{+b}^{{x}_{2}}）}$，
a＞b时：a-b＞0，$\frac{a}{b}$＞1，0＜${（\frac{a}{b}）}^{{x}_{1}{-x}_{2}}$＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
a＜b时：a-b＜0，0＜$\frac{a}{b}$＜1，${（\frac{a}{b}）}^{{x}_{1}{-x}_{2}}$＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴函数f（x）在R上递增，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性问题，是一道基础题．