题目内容
已知⊙F1：（x+1）2+y2=
，⊙F2：（x-1）2+y2=
，椭圆C的方程为
+
=1（a＞b＞0），F1，F2分别为椭圆C的两个焦点，设P为椭圆C上一点，存在以P为圆心的⊙P与⊙F1外切，与⊙F2内切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F2作斜率为k的直线与椭圆C相交于A，B两点，与y轴相交于点D，若
=2
，
=λ
，求λ的值．
（3）已知真命题：“如果点T（x0，y0）在椭圆
+
=1（a＞b＞0）上，那么过点T的椭圆的切线方程为
+
=1．”利用上述结论，解答下面的问题：
已知点Q是直线l：x+2y=8上的动点，过点Q作椭圆C的两条切线QM、QN，M、N为切点，问直线MN是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
| 1 |
| 9 |
| 121 |
| 9 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F2作斜率为k的直线与椭圆C相交于A，B两点，与y轴相交于点D，若
| DA |
| AF2 |
| DB |
| BF2 |
（3）已知真命题：“如果点T（x0，y0）在椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| x0x |
| a2 |
| y0y |
| b2 |
已知点Q是直线l：x+2y=8上的动点，过点Q作椭圆C的两条切线QM、QN，M、N为切点，问直线MN是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）求出⊙F1、⊙F2的圆心和半径，设以P为圆心的⊙P的半径为r，求出PF1+PF2=4，即为a=2，又c=1，由a，b，c的关系，求得b，即可得到椭圆方程；
（2）设过点F2作斜率为k的直线方程为：y=k（x-1），联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理，由向量的数乘的坐标公式，求得A的横坐标，进而求得k，解方程求得B的横坐标，即可得到所求；
（3）运用椭圆的切线方程，求出QM，QN的方程，再由Q是它们的交点，代入即可得到直线MN的方程，再由Q在直线l上，运用直线系方程的结论，即可得到定点．
（2）设过点F2作斜率为k的直线方程为：y=k（x-1），联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理，由向量的数乘的坐标公式，求得A的横坐标，进而求得k，解方程求得B的横坐标，即可得到所求；
（3）运用椭圆的切线方程，求出QM，QN的方程，再由Q是它们的交点，代入即可得到直线MN的方程，再由Q在直线l上，运用直线系方程的结论，即可得到定点．
解答：
解：（1）⊙F1：（x+1）2+y2=
的圆心为（-1，0），半径为
．
⊙F2：（x-1）2+y2=
的圆心为（1，0），半径为
．
设以P为圆心的⊙P的半径为r，
则由以P为圆心的⊙P与⊙F1外切，与⊙F2内切，可得，
PF1+PF2=
+r+
-r=4，即有2a=4，即a=2，又c=1，
则b2=a2-c2=3，
则椭圆C的方程是：
+
=1；
（2）设过点F2作斜率为k的直线方程为：y=k（x-1），
设交点A（x1，y1），B（x2，y2），D（0，-k），
联立椭圆方程，消去y，得，（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
则x1x2=
，
由
=2
，即有x1=2（1-x1），解得，x1=
，
代入方程，可得k2=24，
即有x1x2=
，则x2=
，
由于
=λ
，则x2=λ（1-x2），即有λ=
=
=-
；
（3）设Q（m，n），则m+2n=8，即有m=8-2n，
切点M（x3，y3），N（x4，y4），
则
+
=1，
+
=1，
两条切线QM、QN均过点Q，即有
+
=1，
+
=1，
则由两点确定一条直线，则有直线MN的方程为：
+
=1．
即3mx+4ny-12=0，即3（8-2n）x+4ny-12=0，
即为（24x-12）+n（4y-6x）=0，
由24x-12=0，且4y-6x=0，解得，x=
，y=
．
即有直线MN恒过定点（
，
）．
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 3 |
⊙F2：（x-1）2+y2=
| 121 |
| 9 |
| 11 |
| 3 |
设以P为圆心的⊙P的半径为r，
则由以P为圆心的⊙P与⊙F1外切，与⊙F2内切，可得，
PF1+PF2=
| 1 |
| 3 |
| 11 |
| 3 |
则b2=a2-c2=3，
则椭圆C的方程是：
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）设过点F2作斜率为k的直线方程为：y=k（x-1），
设交点A（x1，y1），B（x2，y2），D（0，-k），
联立椭圆方程，消去y，得，（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
则x1x2=
| 4k2-12 |
| 3+4k2 |
由
| DA |
| AF2 |
| 2 |
| 3 |
代入方程，可得k2=24，
即有x1x2=
| 28 |
| 33 |
| 14 |
| 11 |
由于
| DB |
| BF2 |
| x2 |
| 1-x2 |
| ||
1-
|
| 14 |
| 3 |
（3）设Q（m，n），则m+2n=8，即有m=8-2n，
切点M（x3，y3），N（x4，y4），
则
| x3x |
| 4 |
| y3y |
| 3 |
| x4x |
| 4 |
| y4y |
| 3 |
两条切线QM、QN均过点Q，即有
| x3m |
| 4 |
| y3n |
| 3 |
| x4m |
| 4 |
| y4n |
| 3 |
则由两点确定一条直线，则有直线MN的方程为：
| mx |
| 4 |
| ny |
| 3 |
即3mx+4ny-12=0，即3（8-2n）x+4ny-12=0，
即为（24x-12）+n（4y-6x）=0，
由24x-12=0，且4y-6x=0，解得，x=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
即有直线MN恒过定点（
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
点评：本题考查椭圆的定义和方程，考查两圆的位置关系，平面向量的数乘的定义和坐标表示，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理，考查椭圆的切线方程，以及直线恒过定点问题，考查运算能力，属于中档题．
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