题目内容

已知二次函数r(x)=ax2-(2a-1)x+b的一个零点是2-
1
a
,函数g(x)=lnx,设函数f(x)=r(x)-g(x).
(1)求b的值;
(2)当a>0时,求f(x)的单调增区间.
考点:二次函数的性质,函数零点的判定定理
专题:函数的性质及应用,导数的综合应用
分析:(1)由已知条件知,将2-
1
a
带入r(x)=0即可求出b=0;
(2)求f′(x)=
(2ax+1)(x-1)
x
,所以解f′(x)≥0即可得出f(x)的单调增区间.
解答: 解:(1)∵r(x)的一个零点为2-
1
a

r(2-
1
a
)=a(2-
1
a
)2-(2a-1)(2-
1
a
)+b=0

∴b=0;
(2)f(x)=ax2-(2a-1)x-lnx;
f′(x)=2ax-(2a-1)-
1
x
=
2ax2-(2a-1)x-1
x
=
(2ax+1)(x-1)
x

∵a>0,x>0;
∴x≥1时,f′(x)≥0;
∴f(x)在[1,+∞)上单调递增;
即f(x)的单调增区间为[1,+∞);
点评:考查函数零点的概念,以及通过解f′(x),解f′(x)≥0得到函数f(x)单调增区间的方法.
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