题目内容

已知圆锥曲线E:
(x-c)2+y2
+
(x+c)2+y2
=c2+1(c>0,c≠1)的离心率为e=
3
2
,过原点O的直线与曲线E交于P、A两点,其中P在第一象限,B是曲线E上不同于P、A的点,直线PB、AB的斜率分别为k1、k2,且k1k2≠0.
(Ⅰ)求圆锥曲线E的标准方程;
(Ⅱ)求k1•k2的值;
(Ⅲ)已知F为圆锥曲线E的右焦点,若PA⊥PB,且存在λ∈R使
AF
BF
,求直线AB的方程.
考点:轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系
专题:圆锥曲线中的最值与范围问题
分析:(Ⅰ)首先,设点F1(-c,0),F2(c,0),M(x,y),然后,结合给定的条件,得到|MF1|+|MF2|=c2+1>|F1F2|=2c,从而,得到其轨迹是一个椭圆,然后利用待定系数法确定其方程;
(Ⅱ)首先,可以设点P(x0,y0),根据椭圆的对称性,得点A(-x0,-y0),点B(x1,y1),然后,根据椭圆的标准方程和斜率公式进行化简求解;
(Ⅲ)根据(Ⅰ)得F(
3
2
5
,0),设直线PB的斜率为k,k<0,得到直线PA的斜率为-
1
k
,直线AB的斜率为-
1
4k
,直线PA的方程为:y=-
1
k
x
,直线AB的方程为:y=-
1
4k
(x-
3
2
5
),然后,利用直线与椭圆相交,求点A坐标,再借助于斜率公式建立等式,求解斜率k的值,然后,写出直线AB的方程即可.
解答: 解:(Ⅰ)设点F1(-c,0),F2(c,0),M(x,y),
(x-c)2+y2
+
(x+c)2+y2
=c2+1(c>0,c≠1),
∴|MF1|+|MF2|=c2+1>|F1F2|=2c,
∴点M的轨迹是一个以F1(-c,0),F2(c,0)为焦点的椭圆,
设其方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
,(a>b>0),
∴2a=c2+1,①
∵e=
c
a
=
3
2

∴c=
3
2
a
  ②,
根据①②得,
a=2,c=
3
,或a=
2
3
,c=
3
3

∴b2=a2-c2=1或b2=a2-c2=
1
9

∴b=1或
1
3

∴曲线E的标准方程:
x2
4
+y2=1或
x2
4
9
+
y2
1
9
=1;
(Ⅱ)设点P(x0,y0),根据椭圆的对称性,得点A(-x0,-y0),
设点B(x1,y1),则y02=1-
1
4
x02
y12=1-
1
4
x12

k1=
y1-y0
x1-x0

k2=
y1+y0
x1+x0

∴k1•k2=
y12-y02
x12-x02

=
-
1
4
(x12-x02)
x12-x02

=-
1
4

∴k1•k2=-
1
4

(Ⅲ)由已知设P(m,n),又由A、P关于原点对称,则A的坐标为(-m,-n);
当E的方程为
x2
4
+y2=1时,
F(
3
,0),k2=
n
3
+m
,k1=-
3
+m
n

∵PA⊥PB,(
3
+m
n
)•
n
m
=-1,得m=
3
3

易得n=
33
6
,k2=
11
8

AB所在直线的方程为y=
11
8
(x-
3
),
同理,当E的方程为
x2
4
9
+
y2
1
9
=1;可得AB所在直线的方程为y=
11
8
(x-
3
),
故AB所在直线的方程为y=
11
8
(x-
3
).
点评:本题重点考查了椭圆的概念、标准方程、椭圆的几何性质和直线与椭圆的位置关系、平面向量等知识,属于综合性题目,难度中等,属于中档题.
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