题目内容

已知函数f(x)=ax-1-2lnx.
(1)当a=1时,求f(x)的最小值;
(2)若a≥2,求证:函数f(x)在(0,e)上无零点.
考点:导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值
专题:计算题,证明题,导数的综合应用
分析:(1)先求f(x)=x-1-2lnx的定义域,求导f′(x)=1-
2
x
=
x-2
x
,从而由导数确定最小值;
(2)求导f′(x)=a-
2
x
=
ax-2
x
,从而确定函数的单调性与最值,从而证明函数f(x)在(0,e)上无零点.
解答: 解:(1)由题意,f(x)=x-1-2lnx的定义域为(0,+∞),
f′(x)=1-
2
x
=
x-2
x

故当0<x<2时,f′(x)<0,
当x>2时,f′(x)>0,
故fmin(x)=2-1-2ln2=1-2ln2;
(2)证明:f′(x)=a-
2
x
=
ax-2
x

故当0<x<
2
a
时,f′(x)<0,
2
a
<x<e时,f′(x)>0,
则f(x)在(0,
2
a
)上是减函数,在(
2
a
,e)上是增函数;
又∵f(
2
a
)=a•
2
a
-1-2ln
2
a
=1-2ln
2
a

∵a≥2,∴0<
2
a
≤1,
∴1-2ln
2
a
≥1;
∴f(x)≥1;
故函数f(x)在(0,e)上无零点.
点评:本题考查了导数的综合应用,同时考查了恒成立问题,属于中档题.
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