题目内容
【题目】在等腰直角
中，
，
分别为
，
的中点，
，将沿
折起，使得二面角
为
.
（1）作出平面
和平面
的交线
，并说明理由；
（2）二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】分析：（1）通过
找到解题思路，再根据线面平行的判定、性质以及公理“过平面内一点，作平面内一条直线的平行线有且只有一条”说明理由.
（2）过点
作
的垂线，垂足为
，以F为坐标原点，FB所在方向为
轴正方向，建立空间直角坐标系，应用空间向量，分别求得两平面的法向量
，两平面法向量夹角
详解：（1）在面
内过点作
的平行线
即为所求.
证明：因为
，而在面
外，在面内，所以，
面.
同理，
面
，于是在面上，从而即为平面和平面的交线.
（2）由题意可得
为二面角
的平面角，所以，
.
过点作的垂线，垂足为，则
面.
以为原点，
为轴正方向，
为单位长度建立空间直角坐标系；
则
，
，
，
，
，
从而
，
，
设面
的一个法向量为
,
则由
得
，所以
，不妨取
.
由面知平面的法向量不妨设为
于是，
，
所以二面角
的余弦值为.
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