Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：(x＋3)²＋(y－1)²＝4和圆C₂：(x－4)²＋(y－5)²＝4.

(1)若直线l过点A(4，0)，且被圆C₁截得的弦长为2，求直线l的方程；
(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁和l₂，它们分别与圆C₁和圆C₂相交，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

（1）y＝0或7x＋24y－28＝0.（2）或

(1)设直线l的方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0.由垂径定理，得圆心C₁到直线l的距离d＝＝1，结合点到直线距离公式，得＝1，化简得24k²＋7k＝0，解得k＝0或k＝－.
所求直线l的方程为y＝0或y＝－(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0.
(2)设点P坐标为(m，n)，直线l₁、l₂的方程分别为y－n＝k(x－m)，y－n＝－(x－m)，即kx－y＋n－km＝0，－x－y＋n＋m＝0.
因为直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，得圆心C₁到直线l₁与圆心C₂到直线l₂的距离相等．故有，
化简得(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5.
因为关于k的方程有无穷多解，所以有
解得点P坐标为或.