题目内容

【题目】已知函数f(x)= (a∈R).

(Ⅰ)若a=1,求曲线f(x)在点(e,f(e))处的切线方程;

(Ⅱ)求f(x)的极值;

(Ⅲ)若函数f(x)的图象与函数g(x)=1的图象在区间(0,e2]上有公共点,求实数a的取值范围.

【答案】(1) x+e2y-3e=0 (2) a≥1.

【解析】试题分析:(由切点坐标,根据导数的几何意义,求出该点的导数值,即得曲线在此点处的切线的斜率,然后用点斜式写出切线方程即可;()求出函数的导函数令导数大于0解出增区间,令导数小于0,解出函数的减区间,然后由极值判断规则确定出极值即可

)若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点,即在区间上,函数存在自变量取某个值时,函数值等于1,故问题可以转化为求出函数最值,保证函数的最大值大于等于1,最小值小于等于1即可得到关于参数的不等式,解之即得.

试题解析() a1

f(x)在点(ef(e))处的切线方程为: xe2y3e0.

()f(x)的定义域为(0,+∞)

f′(x)0xe1a.

x(0e1a)时,f′(x)>0f(x)是增函数;

x(e1a,+∞)时,f′(x)<0f(x)是减函数;

f(x)xe1a处取得极大值,

f(x)极大值f(e1a)ea1

(Ⅲ)(i)e1a<e2,即a>1时,

(Ⅱ)f(x)(0e1a)上是增函数,

(e1ae2]上是减函数,

xe1a时,f(x)取得最大值,

f(x)maxea1.

又当xea时,f(x)0

x(0ea]时,f(x)<0

x(eae2]时,f(x)(0ea1]

所以,f(x)的图象与g(x)1的图象在(0e2]上有公共点,

等价于ea1≥1,解得a≥1

又因为a>1,所以a≥1.

(ii)e1ae2,即a1时,f(x)(0e2]上是增函数,

f(x)(0e2]上的最大值为f(e2)

原问题等价于≥1,解得ae22

a1  无解

综上,a的取值范围是a≥1.

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