Question

【题目】已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.

（1）求的取值范围；

（2）证明：

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析

【解析】试题分析：

（1）将问题转化为方程在有两个不同根处理，令，求出，令可得的取值范围．（2）由（1）知当时， 在恒成立，令，可得n个不等式，将不等式两边分别相加可得结论．

试题解析：

（1）由题意知，函数的定义域为．

∵，

∴．

∵函数 在其定义域内有两个不同的极值点，

∴方程在有两个不同根．

令，则，

①当时，则恒成立，故在内为增函数，显然不成立．

②当时，

则当时， ，故在内为增函数；

当时， ，故在内为减函数．

所以当时， 有极大值，也为最大值，且．

要使方程有两个不等实根，

则需，

解得.

综上可知的取值范围为.

（2）由（1）知：当时， 在上恒成立，

∴，

，

，

┄

，

将以上个式子相加得：

，

即，

又，

所以，

所以．