题目内容
【题目】(导学号:05856288)
设函数f(x)=aln x-x,g(x)=aex-x,其中a为正实数.
(Ⅰ)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(2,+∞)上有最小值,求a的取值范围;
(Ⅱ)若函数f(x)与g(x)都没有零点,求a的取值范围.
【答案】(1) a∈(0, ) (2) a∈(,e)
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出函数的导数,得到函数的单调区间,求出a的范围即可;
(Ⅱ)分别求出f(x)的最大值和g(x)的最小值,得到关于a的不等式组,解出即可.
试题解析:
(Ⅰ)f′(x)= (x>0,a>0),
∵0<x<a时,f′(x)>0,x>a时,f′(x)<0,
∴f(x)在(0,a)上是增函数,在(a,+∞)上是减函数,
又f(x)在(1,+∞)上是减函数,∴0<a≤1.
又g′(x)=aex-1,∴x>ln时,g′(x)>0,x<ln时,g′(x)<0,
∴x=ln时,g(x)最小,∴ln>2,∴0<a<,∴a∈(0,).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知x=a时,f(x)取得最大值,x=ln,g(x)取得最小值,
由题意可得f(a)<0且g(ln)>0,
∴∴<a<e即a∈(,e).