题目内容

【题目】(导学号:05856288)

设函数f(x)=aln xxg(x)=aexx,其中a为正实数.

(Ⅰ)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(2,+∞)上有最小值,求a的取值范围;

(Ⅱ)若函数f(x)与g(x)都没有零点,求a的取值范围.

【答案】(1) a∈(0, ) (2) a∈(,e)

【解析】试题分析:(Ⅰ)求出函数的导数,得到函数的单调区间,求出a的范围即可;

(Ⅱ)分别求出f(x)的最大值和g(x)的最小值,得到关于a的不等式组,解出即可.

试题解析:

(Ⅰ)f′(x)= (x>0,a>0),

∵0<x<a时,f′(x)>0,x>a时,f′(x)<0,

f(x)在(0,a)上是增函数,在(a,+∞)上是减函数,

f(x)在(1,+∞)上是减函数,∴0<a≤1.

g′(x)=aex-1,∴x>ln时,g′(x)>0,x<ln时,g′(x)<0,

x=ln时,g(x)最小,∴ln>2,∴0<a<,∴a∈(0,).

(Ⅱ)由(Ⅰ)知xa时,f(x)取得最大值,x=lng(x)取得最小值,

由题意可得f(a)<0且g(ln)>0,

<a<e即a∈(,e).

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