Question

18．有3名男生，2名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数．
（1）全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置，共72种排法．
（2）全体排成一行，其中男生必须排在一起，共36种排法．
（3）全体排成一行，男生不能排在一起，共12种排法．
（4）全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变，共20种排法．
（5）全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边，共78种排法．
（6）若再加入一名女生，全体排成一行，男女各不相邻，共144种排法．
（7）排成前后两排，前排3人，后排2人，共120种排法．
（8）全体排成一行，甲、乙两人中间必须有1人，共36种排法．

Answer 1

分析 对8个小题，分别采用恰当的方法，即可得出结论．

解答 解：（1）利用元素分析法，甲为特殊元素，先安排甲左、右、中共三个位置可供甲选择．有3种，其余4人全排列，有A₄⁴种．由乘法原理得3A₄⁴=72种；
（2）捆绑法，将男生看成一个整体，进行全排列，有A₃³种，再与2名女生进行全排列有A₃³种，故共有A₃³A₃³=36种；
（3）插空法，先排女生，再在空位中插入男生，共有A₂²A₃³=12种；
（4）定序排列用除法，共有$\frac{{A}_{5}^{5}}{{A}_{3}^{3}}$=20种；
（5）位置分析法（特殊位置优先安排）．先排最左边，除去甲外，余下的4个位置全排有A₄¹A₄⁴，但应剔除乙在最右边的排法数A₃¹A₃³种．故共有A₄¹A₄⁴-A₃¹A₃³=78种；
（6）插空法，先排男生，再将女生插入其中的四个空位，共有A₃³A₄³=144种；
（7）与无任何限制的排列相同，共有A₅⁵=120种；
（8）从除甲、乙以外的3人中选1人排在甲、乙中间的排法有3种，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有A₂²A₃³种，最后再把选出的1人的排列插入到甲、乙之间即可，共有3A₂²A₃³=36种．
故答案为：72；36；12；20；78；144；120；36．

点评 本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于中档题．