题目内容
7.△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC+ccosB=2acosB.(1)求角B的大小;
(2)若$b=\sqrt{13},a+c=4$,求△ABC的面积.
分析 (1)利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角B的大小;
(2)利用余弦定理求出ac的值,代入三角形的面积公式即可.
解答 解:(1)∵bcosC+c cosB=2acosB.
∴由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosBsinA=2sinAcosB,
∵sinA>0,
∴$cosB=\frac{1}{2}$,
∵0<B<π,∴$B=\frac{π}{3}$;
(2)∵$b=\sqrt{13},a+c=4$,
∴b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac
即13=16-3ac,
解得ac=1,
∴$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$.
点评 本题主要考查解三角形的应用,根据正弦定理和余弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键.
练习册系列答案
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2.函数f(x)=x3+x-3的实数解落在的区间是( )
A. | [0,1] | B. | [1,2] | C. | [2,3] | D. | [3,4] |
12.若复数z=$\frac{{i}^{2015}}{1-i}$(其中i是虚数单位),则复数z在复平面内对应的点位于( )
A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |
16.电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名,下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?
(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X).
附:K2=$\frac{n(ad-bc)2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$.
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?
非体育迷 | 体育迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合计 |
P(K2≥k) | 0.05 | 0.01 |
k | 3.841 | 6.635 |
17.“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查,得到了如下列联表:
已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是$\frac{8}{15}$.
(1)请将上面的2×2列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程),并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关?
(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为X,求X的分布列和数学期望.
参考数据和公式:
2×2列联表K2公式:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,K2的临界值表:
男性 | 女性 | 合计 | |
反感 | a=10 | b= | |
不反感 | c= | d=8 | |
合计 | 30 |
(1)请将上面的2×2列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程),并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关?
(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为X,求X的分布列和数学期望.
参考数据和公式:
2×2列联表K2公式:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,K2的临界值表:
P(K2≥k) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |