Question

8．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），离心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过$（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\frac{1}{2}）$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点B为椭圆C在第一象限中的任意一点，过B作C的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求三角形OCD面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过将$（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\frac{1}{2}）$代入椭圆C方程并联立e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，进而计算可得结论；
（2）通过设l：y=kx+b（k＜0）并与椭圆方程联立，利用△=0可知b²=1+2k²，进而计算可得结论．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过$（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\frac{1}{2}）$，
∴$\frac{3}{2{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1$，
又∵离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴a²=2，b²=1，
∴椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）设l：y=kx+b（k＜0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：（$\frac{1}{2}$+k）x²+2kbx+b²+1=0，
令△=$4{k}^{2}{•b}^{2}-4•（\frac{1}{2}+k）•（{b}^{2}+1）$=0，则b²=1+2k²，
∴${S_{△OCD}}=\frac{1}{2}•（-\frac{b}{k}）•b=-\frac{b^2}{2k}=-\frac{{1+2{k^2}}}{2k}=\frac{1}{2}[{\frac{1}{-k}+（-2k）}]≥\sqrt{2}$，
当且仅当$\frac{1}{-k}=-2k$，即$k=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时取等号，
∴三角形OCD的面积的最小值为$\sqrt{2}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．