Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosωx，sinωx），$\overrightarrow{b}$=（cosωx，$\sqrt{3}$cosωx），其中0＜ω＜2，设f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$；
（1）若函数f（x）的周期为2π，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若函数f（x）的图象的一条对称轴为x=$\frac{π}{6}$，求ω的值；
（3）若ω=1，且x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]时，求函数f（x）的最大值及最小值．

Answer 1

分析 由平面向量数量积的坐标运算求得f（x）的解析式．
（1）由周期公式求得ω，然后利用复合函数的单调性求得函数f（x）的单调增区间；
（2）由相位落在y轴上结合x=$\frac{π}{6}$求得ω的值；
（3）把ω=1代入函数解析式，再由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]求得相位的范围，则函数f（x）的最大值及最小值可求．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（cosωx，sinωx），$\overrightarrow{b}$=（cosωx，$\sqrt{3}$cosωx），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$co{s}^{2}ωx+\sqrt{3}$sinωx•cosωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2$ωx+$\frac{1+cos2ωx}{2}$=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
（1）∵函数f（x）的周期为2π，∴$\frac{2π}{2ω}=2π$，即ω=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得：$-\frac{2π}{3}+2kπ≤x≤\frac{π}{3}+2kπ，k∈Z$．
∴函数f（x）的单调增区间为$[-\frac{2π}{3}+2kπ，\frac{π}{3}+2kπ]，k∈Z$；
（2）∵函数f（x）的图象的一条对称轴为x=$\frac{π}{6}$，
∴2ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$=k$π+\frac{π}{2}$，即ω=3k+1，k∈Z，
又0＜ω＜2，∴ω=1；
（3）ω=1时，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，∴2x∈$[-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}]$，2x+$\frac{π}{6}$∈$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$，
则sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}，1$]，
函数f（x）的最大值及最小值分别为0，$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查平面向量的坐标运算，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，属中档题．