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【题目】设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为(
A.y2=4x或y2=8x
B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x
D.y2=2x或y2=16x

【答案】C
【解析】解:∵抛物线C方程为y2=2px(p>0),
∴焦点F坐标为( ,0),可得|OF|=
∵以MF为直径的圆过点(0,2),
∴设A(0,2),可得AF⊥AM,
Rt△AOF中,|AF|= =
∴sin∠OAF= =
∵根据抛物线的定义,得直线AO切以MF为直径的圆于A点,
∴∠OAF=∠AMF,可得Rt△AMF中,sin∠AMF= =
∵|MF|=5,|AF|=
= ,整理得4+ = ,解之可得p=2或p=8
因此,抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x.
故选:C.
方法二:
∵抛物线C方程为y2=2px(p>0),∴焦点F( ,0),
设M(x,y),由抛物线性质|MF|=x+ =5,可得x=5﹣
因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为 =
由已知圆半径也为 ,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2),故圆心纵坐标为2,则M点纵坐标为4,
即M(5﹣ ,4),代入抛物线方程得p2﹣10p+16=0,所以p=2或p=8.
所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x.
故答案C.

根据抛物线方程算出|OF|= ,设以MF为直径的圆过点A(0,2),在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|= .再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到∠OAF=∠AMF,Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立关系式,从而得到关于p的方程,解之得到实数p的值,进而得到抛物线C的方程.

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