题目内容

【题目】已知函数.

(1)当时,求函数的单调区间和极值;

(2)若对于任意,都有成立,求实数的取值范围;

(3)若,且,证明:.

【答案】(1)答案见解析;(2);(3)证明见解析.

【解析】试题分析:(1)由题意x>0,由此根据k≤0,k>0利用导数性质分类讨论,能求出函数f(x)的单调区间和极值.
(2)问题转化为对于x[e,e2]恒成立,令,则,由此利用导数性质能求出实数k的取值范围.
(3)设,则,要证,只要证,即证,由此利用导数性质能证明.

试题解析:

(1)

时,因为,所以

函数的单调递增区间是,无单调递减区间,无极值;

②当时,令,解得

时,;当

所以函数的单调递减区间是,单调递增区间是

在区间上的极小值为,无极大值.

(2)由题意,

即问题转化为对于恒成立,

对于恒成立,

,则

,则

所以在区间上单调递增,故,故

所以在区间上单调递增,函数

要使对于恒成立,只要

所以,即实数k的取值范围为

(3)证法1 因为,由(1)知,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,且

不妨设,则

要证,只要证,即证

因为在区间上单调递增,所以

,即证

构造函数

因为,所以,即

所以函数在区间上单调递增,故

,故

所以,即,所以成立.

证法2 要证成立,只要证:.

因为,且,所以

,同理

从而

要证,只要证

令不妨设,则

即证,即证

即证恒成立,

所以单调递增,,得证,所以.

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