题目内容
【题目】如图,三棱柱中,侧面
是菱形,
.
(I)证明:;
(II)若,求直线
与平面
所成角的余弦值.
【答案】(I)见解析; (II) .
【解析】
(I)连接交
于点
,连接
,通过证明
以及
,证得
平面
,由此证得
,根据垂直平分线的性质可知
.(II)先证得
平面
,由此以
为原点建立空间直角坐标系,通过计算直线
的方向向量以及平面
的法向量,由此求得线面角的正弦值,进而求得余弦值.
(I)证明:连接交
于点
,连接
,
因为四边形为菱形,所以
且
为
中点,
所以平面
,
平面
,
为
中点,
为
的垂直平分线,
(II)已知,
,故
由(I)知则
,
又
又平面
故以为原点,
、
、
所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系
则、
、
、
设平面的一个法向量为
,则
,设
设直线与平面
所成角为
则
故直线与平面
所成角的余弦值为
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