Question

8．已知数列{a_n}，{b_n}满足下列条件：a₁=1，a_n+1-2a_n=2n+1，b_n=a_n+1-a_n
（Ⅰ）求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和为S_n，求证：对任意正整数n，均有$\frac{1}{4}$≤S_n＜$\frac{9}{20}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a_n+1-2a_n-a_n+2a_n-1=2，a₁=1得{b_n+2}是以6为首项、2为公比的等比数列，进而可得结论；
（Ⅱ）通过对$\frac{1}{{b}_{n}}$放缩可得$\frac{1}{{b}_{n}}$≤$\frac{1}{5•{2}^{n-1}}$ （n≥2），利用等比数列的求和公式即得结论．

解答 （Ⅰ）解：由a_n+1-2a_n=2n+1，①
得a_n-2a_n-1=2n-1（n≥2），②
①-②得：a_n+1-2a_n-a_n+2a_n-1=2，
即b_n-2b_n-1=2，
因此b_n+2=2（b_n-1+2），
由①，及a₁=1得a₂=5，于是b₁=4，
因此{b_n+2}是以6为首项、2为公比的等比数列，
∴b_n+2=6•2^n-1，即b_n=6•2^n-1-2；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{6•{2}^{n-1}-2}$，
∵$\frac{1}{{b}_{n}}$＞0，∴对任意正整数n，有S_n≥S₁=$\frac{1}{{b}_{1}}$=$\frac{1}{4}$，
∵$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{6•{2}^{n-1}-2}$=$\frac{1}{5•{2}^{n-1}+{2}^{n-1}-2}$≤$\frac{1}{5•{2}^{n-1}}$ （n≥2），
∴当n≥2时，S_n=$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$
≤$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）
=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$•$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$
＜$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$
=$\frac{9}{20}$，
当n=1时，显然有S₁＜$\frac{9}{20}$，
综上，对任意正整数n，均有$\frac{1}{4}$≤S_n＜$\frac{9}{20}$．

点评 本题考查求数列的通项，考查求数列和的范围，注意解题方法的积累，属于中档题．