Question

18．已知函数f（x）=$\frac{x}{lnx}$+ax，x＞1．
（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若a=2，求函数f（x）的极小值；
（Ⅲ）若存在实数a使f（x）在区间（${e^{\frac{1}{n}}}，{e^n}$）（n∈N^*，且n＞1）上有两个不同的极值点，求n的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，利用f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立，得到a的表达式，利用函数的最小值求出a的范围．
（Ⅱ）通过a=2，化简函数的解析式，求出函数的导数，利用导数的符号，判断函数的单调性，求出极小值．
（Ⅲ）判断aln²x+lnx-1=0在$（{e^{\frac{1}{n}}}，{e^n}）$上有两个不等实根，法一：构造函数$lnx=u，（\frac{1}{n}＜u＜n）$，推出$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\△=1+4a＞0\\ \frac{1}{n}＜-\frac{1}{2a}＜n\\ g（\frac{1}{n}）＜0\\ g（n）＜0\end{array}\right.$，求出n的最小值．法二：利用$lnx=u，（\frac{1}{n}＜u＜n）$，推出a的表达式，列出$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{n}＜\frac{1}{2}＜n\\-\frac{1}{4}＜a＜{n^2}-n\\-\frac{1}{4}＜a＜\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}\end{array}\right.$然后求解n的最小值．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}+a$，由题意可得f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立；-----------（1分）
∴$a≤\frac{1}{{{{ln}^2}x}}-\frac{1}{lnx}={（\frac{1}{lnx}-\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{4}$，----------------------（2分）
∵x∈（1，+∞），∴lnx∈（0，+∞），----------------------（3分）
∴$\frac{1}{lnx}-\frac{1}{2}=0$时函数t=${（\frac{1}{lnx}-\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{4}$的最小值为$-\frac{1}{4}$，
∴$a≤-\frac{1}{4}$----------------------（4分）
（Ⅱ）  当a=2时，$f（x）=\frac{x}{lnx}+2x$$f'（x）=\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}+2=\frac{{lnx-1+2{{ln}^2}x}}{{{{ln}^2}x}}$-----------------（5分）
令f′（x）=0得2ln²x+lnx-1=0，
解得$lnx=\frac{1}{2}$或lnx=-1（舍），即$x={e^{\frac{1}{2}}}$----------------------（7分）
当$1＜x＜{e^{\frac{1}{2}}}$时，f′（x）＜0，当$x＞{e^{\frac{1}{2}}}$时，f′（x）＞0
∴f（x）的极小值为$f（{e^{\frac{1}{2}}}）=\frac{{{e^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}}+2{e^{\frac{1}{2}}}=4{e^{\frac{1}{2}}}$----------------------（8分）
（Ⅲ）原题等价于f′（x）=0在$（{e^{\frac{1}{n}}}，{e^n}），（n∈{N^*}$，且n＞1）上有两个不等的实数根；
由题意可知$f'（x）=\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}+a=\frac{{lnx-1+a{{ln}^2}x}}{{{{ln}^2}x}}$---------------------（9分）
即aln²x+lnx-1=0在$（{e^{\frac{1}{n}}}，{e^n}）$上有两个不等实根．----------------------（10分）
法一：令$lnx=u，（\frac{1}{n}＜u＜n）$，g（u）=au²+u-1
∵g（0）=-1＜0，根据图象可知：$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\△=1+4a＞0\\ \frac{1}{n}＜-\frac{1}{2a}＜n\\ g（\frac{1}{n}）＜0\\ g（n）＜0\end{array}\right.$，整理得$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{4}＜a＜0\\-\frac{n}{2}＜a＜-\frac{1}{2n}\\ a＜{n^2}-n\\ a＜\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}\end{array}\right.$----------（11分）
即${\{-\frac{1}{2n}，{n^2}-n，\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}\}_{min}}＞-\frac{1}{4}$，解得n＞2，
∴n的最小值为3．----------------------（13分）
法二：
令$lnx=u，（\frac{1}{n}＜u＜n）$，$a=-\frac{u-1}{u^2}={（\frac{1}{u}-\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{4}，（\frac{1}{n}＜\frac{1}{u}＜n）$--------------（11分）
由题意可知$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{n}＜\frac{1}{2}＜n\\-\frac{1}{4}＜a＜{n^2}-n\\-\frac{1}{4}＜a＜\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}n＞2\\{（n-\frac{1}{2}）^2}＞0\\{（\frac{1}{n}-\frac{1}{2}）^2}＞0\end{array}\right.$
解得n＞2，∴n的最小值为3．----------------------（13分）

点评 本题考查函数的单调性以及函数的极值，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．